从零开始学统计 01 | 神奇的正态分布

一、正态分布介绍

这是在统计学中大名鼎鼎的一种分布，最早由德国的天文学家Moivre提出。

后来，德国数学家高斯（Gauss）首先将其应用于天文学研究，故正态分布也叫“高斯分布”。

高斯的这项工作对后世的科学研究影响极大，以至于德国10马克的钞票上印的是高斯头像和正态分布。

二、正态分布怎么来的

现在我们统计一个班级全部人的身高，为了直观把它们画在数轴上：

然后，把身高分为不同区间

看起来数据点太挤，把它们堆叠起来

将条形图趋势绘制为曲线

上面的曲线就是正态分布，正态分布在这个世界很常见，这会在后面的文章中谈到。

三、举个栗子

下图展示了婴儿和成人身高分布曲线。

曲线形状的不同代表，成年人的身高差异的可能性比婴儿更多。

有两种形状：曲线越宽越低（矮胖型），越窄越高（高瘦型）。这种两种形状反映到生活中的话，婴儿的身高一般差不多，主要集中在20英寸。长大成人后，由于基因和后天的影响，不同人的身高差异开始显现，身高分布就较为广泛，主要在60到80英寸间。

可以直观的看到：不管曲线长相如何，正态分布总是集中在平均值区域，也就是数值集中在中间。

有意思的是，正态分布有个特点：95% 的测量值介于均值±两个标准差。比如，婴儿的95%在20±1.2英寸，成人的介于70±8英寸。

也就是说，只要符合正态分布，未来的测量值，极大的概率（95%）会出现在均值±两个标准差这个区间内。

这个值决定着我们常常听到的置信区间和P值，这个在后面会详细来谈。

三、数学表示

现在看下，正态分布的函数表达式：

可以描述为，随机变量X服从一个位置参数μ，尺度参数σ的概率分布，记做

，或X服从正态分布。一般，μ和σ都是常数，μ代表数据的均值，σ代表数据的标准差。

根据这个上面的正态分布形状，在正态曲线的绘制时，需要知道两个值：

• 告诉曲线的中心在哪：测量值的均值，μ
• 告诉曲线有多宽：测量值的标准差，σ

四、R语言绘制

我们可以从图中看到，均值μ决定正态分布的峰值位置，标准差σ决定分布的矮胖，σ越大越胖。

R代码：

set.seed(1)
x <- seq(-10,15,length.out = 1000)
# 计算N~(-2,1)
y1 <- dnorm(x, -2,1)
# 计算N~(2,1)
y2 <- dnorm(x, 2, 1)
# 计算N~(2,4)
y3 <- dnorm(x, 2, 2)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(-8,10))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#95afc0")
legend("topright", c("X~N(-2,1)", "X~N(2,1)", "X~N(2,4)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#95afc0"), lty = c(1),text.font = 12set.seed(1)
x <- seq(-10,15,length.out = 1000)
# 计算N~(-2,1)
y1 <- dnorm(x, -2,1)
# 计算N~(2,1)
y2 <- dnorm(x, 2, 1)
# 计算N~(2,4)
y3 <- dnorm(x, 2, 2)
# 绘图
plot(x, y1, type = "l", col="#f0932b", ylab = "Density", lwd=2, xlim = c(-8,10))
lines(x, y2, lwd=2, col="#4834d4")
lines(x, y3, lwd=2, col="#95afc0")
legend("topright", c("X~N(-2,1)", "X~N(2,1)", "X~N(2,4)"), col = c("#f0932b", "#4834d4", "#95afc0"), lty = c(1),text.font = 12)

致谢：

https://www.youtube.com/channel/UCtYLUTtgS3k1Fg4y5tAhLbw