从零开始学统计 04 | 协方差与相关性分析
一、老板的任务
老板今天又给一个任务：
计算肝脏细胞中 X 基因与 Y 基因的关系。
现在，两个基因在各个细胞中的表达值都有了。
绘制不同细胞中 X，Y 基因的表达值在坐标轴上。
计算 X 基因和 Y 基因在5个细胞中的均值，标准差。
因为这些测量值都是来自同一个细胞，所以我们可以成对来看：
那么这样成对的测量可以告诉我们哪些信息呢？
现在，先将一对细胞连接，绘制一个点
绘制完成，我们发现，X 基因相对较低的细胞对应的 Y 基因的值也较低，两个基因出现步调一致的表达情况，这可以用一条线来表示：
不难看到，这条线是正斜率，代表着细胞中的 X 基因表达高，Y基因同样会表达高，同样表达低也会出现相同的情况。说明两基因具有正趋势关系
来看一个相反的情况：
上图中的线为负斜率，告诉我们细胞中的 X 基因表达高，Y基因会表达低，出现相反的表达情况。说明两基因具有负趋势关系
第三种情况是，一个基因相对另一个基因，并没有显著变化。说明两基因无趋势关系：
我们现在总结出 X 基因相对 Y 基因的关系有以上三种情况：
- 正趋势关系
- 负趋势关系
- 无趋势关系
二、协方差
为了去说明 X 基因相对 Y 基因的趋势关系，我们需要一个数学上的解释：
首先计算 X基因与 Y 基因的均值
现在计算一个点的与两基因均值的差值：
将值代入计算：（3-17.6）x（12-24.4）= -14.6 x -12.4 = 181
如果将五个点都计算一遍，得到：
现在可以计算协方差（Covariance）了：
会发现：
这些点所在象限，最终的值都为正值，也就是说这五个点对总协方差的贡献都是正值。
协方差值为正，斜率为正，这告诉我们当协方差为正时，就可以将二者的关系分类为正趋势。如果协方差为负，则相反。
协方差的优缺点
但是，协方差值并不能告诉我们表示关系的直线的斜率是陡峭还是平缓，而且也不能反应点距离线是远还是近。协方差唯一能告诉我们的是关系的斜率为正还是负。
但是协方差还有一个很大的缺点，我们接下来讨论：
比如现在同样计算两个基因的协方差，我们将左边的数据范围扩大一倍，也就是从40 -> 80。
接下来，我们继续计算同样的两个基因的协方差，虽然线相对位置没发生变化，但是会发现协方差会扩大4倍。
就很有意思，我们唯一改变的只是数据点的值范围，数据点的关系并没有变化，但是协方差依旧在改变。
也就是说，协方差对于数据范围更敏感，而不是数据关系，这就使得它很难用于关系的描述，比如是否接近表示关系的虚线，以及和虚线间的距离。
虽然这样，但是协方差并不是一无是处，相反它是各种分析的基础，比如主成分分析，相关性分析。
三、相关性分析
1. 相关性强弱
基于趋势线，我们可以根据某个 Y 基因值，预测 X 基因的值。
当然，也可以用 X 基因来预测 Y 基因，就行下图这样的：
如果该数据越接近趋势线，根据 X 基因值去预测 Y 基因值就会落在较小范围内，那么 X 基因就会告诉我们更详细的 Y 基因信息。也可以说， X 基因对 Y 基因的关系相对较强。
相反，距离趋势线较远，我们会猜测 Y 基因值会落在更大的范围内：
这就代表 X 基因和 Y 基因间的关系相对较弱。
但是这里要注意描述问题，以上是用 X 基因根据趋势线和数值去预测 Y 基因的值。而不是代表着 X 基因值会导致 Y 基因值的变化。
我们现在得到可以量化关系强度的分类：
- 弱相关，较小的相关值
- 强相关，较大的相关值
2. P值
假设一个极端情况，所有点可以被正斜率的直线通过，这时的相关性为 1
无论数据关联的大小如何，只要具有正斜率的直线可以遍历所有数据，和斜率无关，相关性都为1
还有这样的，相关性也是为1
现在考虑个问题，如果数据集中只有两个值，就像下面这样：
类似这样的，其实并不能作为趋势线，因为两点绘制为线，这个随机性太大。也就是数据量太小的话，并不能代表数据总体。
测得的数据量越多，得到趋势线后，我们对于预测到正确的值越有信心，这时的P值越小。
上图中，对于第三个数据量多，P值很小，我们最有信心得出正确的预测值。
相关性代表了二者的关系，上图中的相关性很差，即使增加再多的样本量，也不会改变二者的关系。虽然增加了我们对预测的信心，可信度增加了，但是得到的结果是二者的关系依然很糟。
3. 总结
趋势线为负时，相关性相反
趋势线为正时，相关性为正
但是，我们大多数情况遇到的是数据分布在趋势线的两侧，
相关性值越接近 0 时，在拟合时，效果就会越差。
当相关性值为 0 时，就没有关系了。
现在可以看看相关性的公式了：
- 分子是二者的协方差，用来确定斜率的正负
- 分母是标准差，使相关性质取值范围为-1到1。而且可以确保数据规模不影响相关性值
4. R平方
绘制小鼠编号和小鼠体重的散点图，计算点与体重均值的距离，计算方差：
小鼠体重与小鼠体型的散点图，同样绘制点与均值的距离，计算方差：
可以发现，虽然点在 X 轴方向的排列顺序变了，但是方差并不会改变。
我们所要做的就是根据数据拟合一条直线，可以绘制出这根蓝线：
看起来拟合直线（蓝线）比均值直线（黑线）更好地贴合数据。
- Var(mean)：数据值与其平均值的差的平方和，用来衡量数据点离均值线的远近
- Var(line)：数据值与蓝线的差的平方和，用来衡量数据点离拟合线的远近
最终 R^2 的范围是 0 到 1，因为拟合直线附近的变化，永远不会大于，以平均线为基准衡量附近的变化。
最后，获得 R^2 = 81%，代表着蓝线与数据点的差值平方和比均值的对应数值小81%。也就是说，小鼠的大小与重量的相关性能够解释总差异的 81%，大部分数据变化都可以有小鼠体重和体型大小的关系来解释。
假设研究小鼠体重和嗅探石头的花费时间的关系：
可以看到拟合出的直线也是一个很大的值，计算得到的 R^2 只有 6%，代表这条拟合线只比平均值多解释了6%的差异，也就是说，X与 Y 二者的相关性仅仅能解释总差异的 6%，意味着数据中几乎没有任何差异可以用 X 变量来解释。
R^2 可以更好的直观解释数据的相关性，比如：
R^2 = 0.7^2 = 0.5，50%的差异可以用变量相关性来解释
R^2 = 0.5^2 = 0.25，25%的差异可以用变量相关性来解释
但是，R^2并没有方向，这时候需要结合R，描述这两个变量是正相关或负相关的。
R平方是两个变量间相关性能够解释总体差异的百分比
如果有相关系数 R 时，需要计算 R 平方。
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